导数

导数运算规则

运算	规则
$(u \pm v)'$	$u' \pm v'$
$(Cu)'$	$Cu'$
$(uv)'$	$u'v + uv'$
$({u \over v})'$	${u'v - uv'\over {v^2}} \quad (v \ne 0)$
$y' = u'(f(x))$	${dy\over dx} = {dy\over du} \cdot {du\over dx}$

导数表

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$n^x$	$n^x\ln n$	$\log _ax$	$1\over {x\ln a}$
$\ln x$	$1\over x$	$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sqrt[n]{x}$	${x^{-{n-1}\over {n}}}\over {n}$	$1\over {x^n}$	$-{n\over {x^{n+1}}}$
$\sqrt{x}$	$1\over {2\sqrt{x}}$	$1\over x$	$-{1\over {x^2}}$
$\sin x$	$\cos x$	$\cos x$	$- \sin x$
$\tan x$	${1\over {\cos^2 x}} = \sec^2 x$	$\cot x$	$-{1\over {\sin^2 x}} = -\csc^2 x$
$\sec x$	$\sec x \cdot \tan x$	$\csc x$	$-\csc x \cdot \cot x$
$\arcsin x$	$1\over \sqrt{1 - x^2}$	$\arccos x$	$-{1\over \sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan x$	$1\over {1+x^2}$	$arccot\ x$	$-{1\over {1 + x^2}}$
$arcsec\ x$	$1\over {x\sqrt{x^2 - 1}}$	$arccsc\ x$	$-{1\over {x\sqrt{x^2 - 1}}}$

极限

等价无穷小

$f(x)$	$g(x)$	$f(x)$	$g(x)$
$a^x-1$	$x\ln a$	$\log _a(1+x)$	$x\over{\ln a}$
$\ln (1+x)$	$x$	$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$	$x$
$(1+ax)^b - 1$	$abx$	$\sqrt[b]{1+ax} - 1$	${ax}\over{b}$
$x - \ln(1+x)$	$x^2\over2$
$\sin {ax}$	$ax$	$\tan {ax}$	$ax$
$\arcsin {ax}$	$\sin {ax} = ax$	$\arctan {ax}$	$\tan {ax} = ax$
$1 - \cos x$	$x^2\over 2$	$\tan x - \sin x$	$x^2 \over 2$
$\tan x - x$	$x^3 \over 3$	$x - \arctan x$	$x^3 \over 3$
$x - \sin x$	$x^3 \over 6$	$\arcsin x - x$	$x^3 \over 6$

向量代数与空间解析几何

向量

• 向量：既有大小，又有方向的量称为向量，计为 $\vec a$，$\vec {AB}$。

• 模：向量的大小为向量的模，记为 $\| \vec a\|$，$\| \vec {AB}\|$。

• 相等：大小和方向相同的两个向量相等。

• 单位向量：模为 1 的向量为单位向量。

• 零向量：模为 0 的向量为零向量，其方向任意。

向量的坐标表示

在空间直角坐标系 Oxyz 中，若 $\vec a = \vec {OM}$，点 M 的坐标 (x,y,z) 称为 $\vec a$ 的坐标，记为 $\vec a = (x, y, z)$，

以坐标方式表示向量间关系，$\vec a = (x_a, y_a, z_a), \vec b = (x_b, y_b, z_b)$$：

• 向量相等：$\vec a = \vec b \Leftrightarrow x_a = x_b,\quad y_a = y_b,\quad y_a = y_b$

• 向量平行：$\vec a // \vec b \Leftrightarrow {x_a \over x_b} = {y_a \over y_b} = {z_a \over z_b}$

平面

• 点法式方程：

  $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

  因：若 $(x, y, z)$ 为平面上一点，$\vec n(A, B, C)$ 为平面上法向量，必有

  $$(A, B, C) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0$$

  

• 一般方程：

  $$Ax + By + Cz + D = 0$$

直线

• 对称（点向）式：

  $${x - x_0\over m} = {y - y_0\over n} = {z - z_0\over p}$$

• 一般式：

  $$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\\ \end{cases}$$