Zohar's blog

# 高数公式笔记

Math

## 导数

### 导数运算规则

$(u \pm v)'$ $u' \pm v'$
$(Cu)'$ $Cu'$
$(uv)'$ $u'v + uv'$
$({u \over v})'$ ${u'v - uv'\over {v^2}} \quad (v \ne 0)$
$y' = u'(f(x))$ ${dy\over dx} = {dy\over du} \cdot {du\over dx}$

### 导数表

$f(x)$ $f'(x)$ $f(x)$ $f'(x)$
$n^x$ $n^x\ln n$ $\log _ax$ $1\over {x\ln a}$
$\ln x$ $1\over x$ $x^n$ $nx^{n-1}$
$\sqrt[n]{x}$ ${x^{-{n-1}\over {n}}}\over {n}$ $1\over {x^n}$ $-{n\over {x^{n+1}}}$
$\sqrt{x}$ $1\over {2\sqrt{x}}$ $1\over x$ $-{1\over {x^2}}$
$\sin x$ $\cos x$ $\cos x$ $- \sin x$
$\tan x$ ${1\over {\cos^2 x}} = \sec^2 x$ $\cot x$ $-{1\over {\sin^2 x}} = -\csc^2 x$
$\sec x$ $\sec x \cdot \tan x$ $\csc x$ $-\csc x \cdot \cot x$
$\arcsin x$ $1\over \sqrt{1 - x^2}$ $\arccos x$ $-{1\over \sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan x$ $1\over {1+x^2}$ $arccot\ x$ $-{1\over {1 + x^2}}$
$arcsec\ x$ $1\over {x\sqrt{x^2 - 1}}$ $arccsc\ x$ $-{1\over {x\sqrt{x^2 - 1}}}$

## 极限

### 等价无穷小

$f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$
$a^x-1$ $x\ln a$ $\log _a(1+x)$ $x\over{\ln a}$
$\ln (1+x)$ $x$ $\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$ $x$
$(1+ax)^b - 1$ $abx$ $\sqrt[b]{1+ax} - 1$ ${ax}\over{b}$
$x - \ln(1+x)$ $x^2\over2$
$\sin {ax}$ $ax$ $\tan {ax}$ $ax$
$\arcsin {ax}$ $\sin {ax} = ax$ $\arctan {ax}$ $\tan {ax} = ax$
$1 - \cos x$ $x^2\over 2$ $\tan x - \sin x$ $x^2 \over 2$
$\tan x - x$ $x^3 \over 3$ $x - \arctan x$ $x^3 \over 3$
$x - \sin x$ $x^3 \over 6$ $\arcsin x - x$ $x^3 \over 6$

## 向量代数与空间解析几何

### 向量

• 向量：既有大小，又有方向的量称为向量，计为 $\vec a$$\vec {AB}$

• ：向量的大小为向量的模，记为 $\| \vec a\|$$\| \vec {AB}\|$

• 相等：大小和方向相同的两个向量相等。

• 单位向量：模为 1 的向量为单位向量。

• 零向量：模为 0 的向量为零向量，其方向任意。

### 向量的坐标表示

• 向量相等：$\vec a = \vec b \Leftrightarrow x_a = x_b,\quad y_a = y_b,\quad y_a = y_b$

• 向量平行：$\vec a // \vec b \Leftrightarrow {x_a \over x_b} = {y_a \over y_b} = {z_a \over z_b}$

### 平面

• 点法式方程：

因：若 $(x, y, z)$ 为平面上一点，$\vec n(A, B, C)$ 为平面上法向量，必有

• 一般方程：

• 对称（点向）式：

• 一般式：